平面问题

两类平面问题

由于泊松比的影响，一个方向的应力会导致其它两个方向产生相应的应变。自然地，平面问题由此分为两类：

• 平面应力问题：平面外无应力，但通常有应变
• 平面应变问题：平面外无应变，但通常有应力

TIP

通常来说，

• 薄板可以认为是平面应力问题：$z$ 方向边缘应力为 0，且较薄，认为沿 $z$ 方向不变。
• 无限长的柱体可以认为是平面应变问题：是无限长，所以任意横截面都可以作为 $xy$ 平面，且关于 $xy$ 平面对称 $\Rightarrow$ $\varepsilon_z=0$

一点应力状态

$$\begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l \\ m \\ n \end{bmatrix}$$

平衡微分方程

取微元体：假设一个面的应力分量为 $\sigma_{x}$，那么另一个面上就是 $\displaystyle \sigma_x + \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}dx$。以此类推可以求出每个面的应力分量大小，列平衡方程即得：

$$\begin{aligned} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + f_{x} = 0 \\ \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + f_{y} = 0 \end{aligned}$$

几何方程

$$\varepsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_{y} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}$$

需要注意的是，剪应变以使两线段夹角变小为正。

物理方程

$$\begin{aligned} &E\varepsilon_{x} = \sigma_{x} - \mu (\sigma_{y} + \sigma_{z}) \\ &E\varepsilon_{y} = \sigma_{y} - \mu (\sigma_{z} + \sigma_{x}) \\ &E\varepsilon_{z} = \sigma_{z} - \mu (\sigma_{x} + \sigma_{y}) \\ &G\gamma_{xy} = \tau_{xy}, \quad G\gamma_{yz} = \tau_{yz}, \quad G\gamma_{zx} = \tau_{zx} \end{aligned}$$

考虑到弹性模量之间的关系，根据平面应力或平面应变问题进行化简，可以分别得到两种平面问题的物理方程。

$$G = \frac{E}{2(1+\mu)}$$

边界条件

分为位移边界条件与应力边界条件。

圣维南原理（局部应力原理）

把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效（主矢与主矩相等）的面力，那么近处的应力分布将有明显的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。