流体力学模型

• 连续介质假设
• 流体质点模型
• 流体元模型

牛顿粘性流体

$$\tau = \frac{du}{dy}$$

欧拉平衡方程

$$\triangledown p = \rho \vec{f}$$

• 体积力 = 表面力 （单位：加速度）
• 压强在空间的变化由体积力引起

$$dp = \rho (f_x dx + f_y dy + f_zdz) = \rho\vec{f}\cdot d\vec{r}$$

• $dp = 0$时成为等压面
• 对壁面总压力
  1. 水平方向：积分，注意可以使用形心、对称
  2. 竖直方向：总等于其上水的重力，有虚实之分

拉格朗日与欧拉

拉格朗日法

$$\left\{ \begin{aligned} x = x(a, b, c, t) \\ y = y(a, b, c, t) \\ z = z(a, b, c, t) \end{aligned} \right.$$

$(a, b, c)$ 确定质点，$t$ 确定轨迹

欧拉法（速度场）

$F$代表任意物理量，其构成的场可以有如下描述：

$$\left\{ \begin{aligned} F_x = F_x(x, y, z, t) \\ F_y = F_y(x, y, z, t) \\ F_z = F_z(x, y, z, t) \end{aligned} \right.$$

对时间的全微分，称为随体导数：全导数 = 迁移导数 + 当地导数

$$\begin{aligned} \frac{DF}{Dt} =& \frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial F}{\partial t}\\ =& \frac{\partial F}{\partial x}u + \frac{\partial F}{\partial y}v + \frac{\partial F}{\partial z}w + \frac{\partial F}{\partial t}\\ =& \left(\vec{V} \cdot \triangledown\right)\vec{F} + \frac{\partial F}{\partial t} \end{aligned}$$

不可压缩

• ${D\rho}\,/\,{Dt} = 0$
• $(\vec{V}\cdot \triangledown) \rho = 0$ (线应变之和为 0)

定常流

• $$\frac{\partial}{\partial t} = 0$$

均匀流

• $$\vec{V}\cdot \triangledown = 0$$

欧拉与拉格朗日互换

• 观察可知，欧拉表示有 $u$ ，通常可以求解微分方程，解出 $x$ , 消去 $u$。
• 拉格朗日表示没有 $u$ ，可以求导得到 $u$，用带入消元消去 $a,b$

几何描述

• 迹线：质点运动轨迹 (拉格朗日量)

• 流线：与速度方向一致的线

  $$\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} = \frac{dz}{w} \\ 或 \\ d\vec{r}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ dx & dy & dz \\ u & v & w \end{vmatrix} = 0$$

• 脉线：某瞬时将在之前某时段内相继通过一点的质点连成的线

  $$???$$
• • 流管
  • 流面
  • 元流
  • 总流
  • 过水断面

• 线应变

  $$\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x}$$

• 体积膨胀率

  $$\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \triangledown \cdot \vec{v}$$

• 角应变速率

  $$\gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}$$

• 旋转角速度

  $$\omega_z = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$

• 涡量

  $$\Omega = \triangledown \times v = 2( \omega_x i + \omega_y j + \omega_z k ) = 2 \omega$$

流动分类

• 恒定流（定常流）
• 流动维数：速度场的表示需要几个坐标
• 均匀流
  • 总流中同一流线流速相同
  • 流线平行、过水断面为平面、流速分布图相同
• 渐变流/急变流

雷诺输运公式

$$\frac{DN_{sys}}{Dt} = \frac{\partial N_{cv}}{\partial t} + \int_{CS} \eta\ (v\cdot n)dA = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \eta\ d\tau + \int_{CS}\eta\ (v\cdot n)dA$$

$N_{sys}$ 代表系统广延量，$N_{cv}$ 代表控制体广延量。所谓系统就是$t=0$时刻的控制体区域。

应用：取 $\eta = \rho$ 则 $\eta$ 对空间的积分与时间无关，$\frac{D_{sys}}{Dt} = 0$

连续性方程

$$\frac{\partial }{\partial t} \int_{CV}\rho d\tau + \int_{CS}\rho (v\cdot n)dA = 0$$

• [x] 定常流动
  $$\int_{CS}\rho (v\cdot n)dA = 0$$
• [x] 不可压缩流体 $\rho = c$
  $$\int_{CS} (v\cdot n)dA = 0 \Rightarrow (VA)_1 = (VA)_2$$
  其中 $V$ 为平均速度，是 $v$ 的均值。

微分形式

$$\frac{D\rho}{Dt} + \rho \boldsymbol{\triangledown}\cdot v = \frac{D\rho}{Dt} + \rho \left(\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial w}{\partial z}\right)$$

• [x] 定常流动

$$\boldsymbol{\bigtriangledown}\cdot (\rho v) = 0 \Rightarrow \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0$$

• [x] 不可压缩流体

$$\boldsymbol{\triangledown}\cdot v = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$$

伯努利方程

沿流线

假设：

• [x] 无粘性
• [x] 沿流线(速度方向)取体积元

$$\left(\frac{\partial p}{\partial x}\ ds\right)dA + g\frac{dz}{ds} = \rho\ dAds\frac{dv}{dt}$$

$$\int\frac{\partial v}{\partial t}ds + \frac{v^2}{2} + gz + \int\frac{dp}{\rho} = C$$

再假设：

• [x] 不可压缩
• [x] 定常

可以得到：

$$\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = C$$

物理意义：动能、重力势能、压强势能的总和不变

沿法线

由压强差与重力提供向心力：

$$\frac{\partial p}{\partial n} + \rho g\frac{dz}{dn} = \frac{\rho v^2}{R}$$

所有流线平行，即处于缓变流，$R \rightarrow \infty$ 时：

$$p + \rho gz = c$$

沿总流

处于缓变流时:

$$\frac{\alpha V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = C$$

$\alpha$ 出现的原因是 $V$ 是 $v$ 的均值，故 $V^2$ 不是 $v^2$ 的均值。

动量方程

$$\int_{CS} \rho v (n\cdot n)\ dA = \Sigma F$$

物理意义 合外力等于净流出的动量流量

圆管流动

湍流与雷诺数

$$R_e = \frac{\rho Vd}{\mu} < 2300$$

时，凭借经验可以判断该流动为层流

斯托克斯公式

在定常圆管流动中，管压降为常数，记为 $G = -dp/dx$

切应力满足

$$\tau = \frac{1}{2}Gr$$

沿 $r$ 方向线性分布。

速度分布律

牛顿粘性定律 + 斯托克斯公式

$$\tau = \mu \frac{du}{dr} \Rightarrow u = \frac{1}{4\mu}G(R^2-r^2)$$

泊肃叶定律

$u$ 对面积积分：

$$Q = \frac{\pi}{8\mu} GR^4$$

沿程损失

达西公式

$$h_f = \lambda \frac{l}{d} \frac{V^2}{2g}$$

$\lambda$ 的确定

1. 层流
   $$\lambda = \frac{64}{Re}$$
2. 湍流光滑区
   $$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2\lg (Re\sqrt{\lambda}) - 0.8$$
3. 完全粗糙区 [与雷诺数无关]
   $$\frac{1}{\lambda} = \left(1.74 + 2\lg \frac{d}{2\varepsilon}\right)^2$$

穆迪图

$\varepsilon$ 与 $\lambda$ 可以通过穆迪图查得

局部损失

$$h_m = K\frac{v^2}{2g}$$

• 出入口 $K = 0.5$
• 放大管、缩小管
• 弯管
• 阀门

明渠流

均匀流条件

$J = i = h_f / L$, 水面与坡面平行，不发生重力势能与动能的转变。

曼宁公式

$$V = \frac{1}{n} R^{3/2}\sqrt{J}$$

n 为曼宁系数，R为水力半径

水力最佳截面与允许流速

1. 使得 R 区极值
2. 使得壁面不破坏

非均匀流

分为渐变流、急变流。

Fr 数判别急变流

$$Fr = \frac{V}{\sqrt{gh}} > 1$$

截面比能判别

单位宽度的能量

$$\begin{aligned} E_p &= h \\ E_k &= \frac{V^2}{2g} = \frac{Q^2}{2gb^2h^2} \\ E_p &< 2E_k \end{aligned}$$

临界水深判别

$$\frac{dE}{dh} = 0 \Rightarrow h_c = ^3\sqrt{\frac{Q^2}{gb^2}}$$

水跃能量损失

$$\left\{ \begin{aligned} & V_1h_1 = V_2h_2 \\ & \rho V_1h_1(V_2 - V_1) = \frac{1}{2} \rho g (h_1^2-h2^2) \end{aligned} \right. \Rightarrow h_2=\frac{1}{2}(\sqrt{8Fr^2}-1)h_1$$

相似数

1. 雷诺数
   $$Re = \frac{\rho Vd}{\mu}$$
2. 弗劳德数
   $$Fr = \frac{V}{\sqrt{gl\;}}$$
3. 欧拉数
   $$Eu = \frac{p}{\rho V^2}$$
4. 牛顿数
   $$Ne = \frac{F}{\rho V^2 l^2}$$