理论力学

运动的合成与分解

$$\begin{aligned} P 点绝对速度\quad&\vec{a}_p =& &\vec{a}_P^e + \vec{a}_p^r + \vec{a}_p^C \\ 其中牵连加速度\quad&\vec{a}_P^e =& &\vec{a}_{tP}^e + \vec{a}_{\omega P}^e + \vec{a}_{\alpha P}^e \\ 科氏加速度\quad&\vec{a}_P^C =& &2\vec{\omega} \times\vec{v}_P^r \end{aligned}$$

分析力学基础

系统自由度的判定

约束的分类

1. 完整约束（方程中不含速度项）
   1. 定常约束（方程中不显含时间 $t$）
   2. 非定常约束（方程中显含时间 $t$）
2. 非完整约束（方程中含速度项）

动量矩定理

对定点

平动刚体对定点动量矩

$$L = \rho \cdot mv_C$$

定轴转动刚体对轴动量矩

$$L = J\cdot \omega$$

刚体对定点动量矩

$$L_D = L_C + d_C \times mv_C$$

对质心

绝对动量矩等于相对动量矩

$$L_C'= L_C = J_C\cdot\omega$$

达朗贝尔原理

质点(系)的达朗贝尔原理

质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用于质点的所有真实力组成平衡力系

刚体惯性力系

• 主矢：等于系统动量对时间绝对导数的反向
• 主矩：等于系统对质心动量矩对时间导数的反向

惯性力的求法

1. 非平面运动刚体积分
   1. 求 $\int a(dm)$ 得主矢
   2. 对定点求 $\int ar(dm)$ 得对该点主矩，则依次可求得力的位置。
2. 平面运动刚体向质心化简
   1. $F_C^\star = \int a(dm)$
   2. $M_C^\star = J\alpha$
3. 定轴转动刚体
   1. 两个分量

虚位移原理

含义

虚位移原理用于解决静力学平衡中的某些问题，直接切入主动力，而避免谈论理想约束力。

理想约束力 做功为 0 的约束力

虚位移关系计算

坐标法

设出足够的坐标，对坐标满足的关系式求导。该关系式必须是任意时刻的关系式

速度法

分析各个点的速度、杆的角速度，得到 $\dot{x}$、$\dot{\phi}$ 等量的关系式，即得到 $\Delta x$、$\Delta\phi$ 的关系。

应用

1. 求主动力之间的关系

   为每个主动力设一个相应的虚位移，找出虚位移之间的关系就找到了主动力之间的关系

2. 求平衡位置

   与 1 相似，是同样的方程，但此时坐标变成未知量

3. 求约束反力

   每次解放一个自由度，替代以一个主动力，则回到 1 。

4. 求二力杆内力

   二力杆也是一种约束，拆开后就化为两个大小相等方向相反的主动力