土力学

粒径级配

基本特性

• 碎散性
• 自然变异性
• 三相体

级配曲线

小于某粒径的质量百分比 - $\log$ (粒径)图

注意事项：

• 以 $0.075mm$ 为界，应结合使用筛分法和水分法。后者的原理是大颗粒与小颗粒下沉速率不同，通过读取密度计的下沉距离与时间，换算出各粒径含量。

评判标准

特征粒径

• $d_{10} \rightarrow$ 小于此粒径的土粒质量占总质量的 $10\%$，也称有效粒径。
• $d_{30} \rightarrow$ 小于此粒径的土粒质量占总质量的 $30\%$，也称连续粒径。
• $d_{60} \rightarrow$ 小于此粒径的土粒质量占总质量的 $60\%$，也称控制粒径。

以上分别对应粒径级配曲线上 $10\%,\ 30\%,\ 60\%$ 对应的粒径

不均匀系数

$$C_u = \frac{d_{60}}{d_{10}}$$

曲率系数

$$C_c = \frac{d_{30}^2}{d_{10}\cdot d_{60}}$$

级配优劣

$C_u > 5$ 且 $1 \le C_c \le 3$ 时，级配曲线光滑连续，坡度平缓，不存在平台段，属于级配良好土。

物理性质

定义与符号

物理量	符号	说明
天然重度	$\gamma$
饱和重度	$\gamma_{sat}$	土空隙中充满水时的重度
干重度	$\gamma_d$	土空隙中没有水时的重度
土粒相对密度	$G_s$	$G_s = \rho_s/\rho_w$ 土颗粒密度与水密度的比值
孔隙比	$e$	$e = V_v/V_s$ 孔隙体积与固体颗粒体积之比
孔隙率	$n$	$n=V_v/V$ 空隙体积与总体积之比
含水率	$\omega$	水质量与土粒质量之比
饱和度	$S_r$	$S_r = V_w/V_v$ 水体积与孔隙体积之比

物理量换算

TIP

抓住土粒本身的质量不变等等量关系列方程即可，很多时候孔隙比 $e$ 是一个很好的中间过程

物理状态指标

1. 无粘性土

   • 密实度
     $$D_r = \frac{e_{max}-e}{e_{max}-e_{min}}$$

2. 粘性土

   • 塑性指数
     $$I_{p} = \omega_{L} - \omega_{P}$$
   • 液性指数
     $$I_{L} = \frac{\omega-\omega_{P}}{\omega_{L}-\omega_{P}}$$

压实度

击实实验

取同一种土不同含水率的土样，分层击实，测量其含水率，计算干重度。

含水率-干重度曲线

随含水率的上升，干重度先上升后下降。干重度最大的点为最优含水率、最大干重度。

其影响因素主要有：

• 土的类别
• 击实的能量

土的工程分类

按照规范（国内外）一步一步观察即可。主要分类因素有：

• 粒径
• 塑性指数 $I_{p}$
• 不均匀系数 $C_u$
• 曲率系数 $C_c$

A 线：$Ip=0.73(\omega_{L}-20)$

压缩性

压缩指标

1. 压缩系数：孔隙比减小量与有效压力增量的比值
   $$a = - \frac{\triangle e}{\triangle \sigma '} = \frac{e_1 - e_2}{\sigma_2' - \sigma_1'}$$
   $a_{1-2}$ 为 $\triangle \sigma'$ 从 $100kPa$ 变化到 $200kPa$ 时的 $a$,且 $a > 0.5$ 时为高压缩性土，$a<0.1$时低压缩性土。
2. 侧限模量：
   $$E_s = \frac{\triangle\sigma'}{\triangle e}\left(1+e_1\right)$$
3. 压缩指数：$e-\lg \sigma'$ 曲线中直线段的斜率
   $$C_c = \frac{e_1 - e_2}{\lg \sigma_2' - \lg \sigma_1'} = \frac{e_1 - e_2}{\lg(\sigma_2' / \sigma_1')}$$
4. 回弹指数：$e - \lg \sigma'$ 回弹段斜率

固结

• 先期固结压力：天然土层在历史上受过的最大固结压力，记为 $\sigma_c'$
• 当前竖向有效自重应力：记为 $\sigma_{sz}$
• 正常固结土、超固结土、欠固结土

确定先期固结压力：作图法

土体沉降量

沉降量

$$s = \frac{\triangle e}{1+e_0} H$$

考虑先期固结压力时，如果先期已经被压实，则应该使用回弹模量计算，反之则使用侧限模量。

分层总和法

离散计算

1. 分为厚度小于 0.4b 的层，土层与地下水位应为分层面且基础底面附近厚度应小些
2. 计算地基土的竖向有效自重应力 $\sigma_{sz}'$
3. 计算土的附加应力 $\Delta \sigma_z '$
4. 确定沉降计算深度：$\Delta \sigma_z ' = 0.2 \sigma_{sz}'$ (高压缩性土则为 0.1)时的高度
5. 计算各层压缩量
   $$s_i = \frac{\Delta\bar{\sigma_z'}}{E_s}H_i = \frac{\Delta e}{1+e_0}H_i$$

固结理论

模型：

• 压缩模量不变 $h \propto e \propto \varepsilon \propto \Delta\sigma$
• 单向排水
• 静水孔隙水压力：$u_s$
• 超静孔隙水压力：$u_e$：由于外部荷载增加后，水不能及时排出而产生的额外水压力，初始时为外部作用产生的附加应力
• 固结系数：

$$C_v = \frac{k(1+e_0)}{\gamma_wa}$$

单向固结微分方程

$$\frac{\partial u_e}{\partial t} = C_v\frac{\partial^2 u_e}{\partial z^2}$$

考虑初始条件、边界条件，其有解析解，可得 $u_e$

固结过程

• 施加应力 $p_0$
• 土体未变形，有效附加应力为 0，施加的应力全部由水承担
• 土体逐渐变形，有效应力变为 $U_{z,t}\cdot p_0$
• 变形完成，有效附加应力为 $p_0$

固结度

$$U_{z,t} = \frac{\Delta\sigma_z'(z,t)}{\Delta\sigma_z(z)}$$

平均固结度:

$$\begin{aligned} U_t =& 1- \frac{\int_0^{H_{dr}}u_e(z,t)dz}{\int_0^{H_{dr}}p_0dz} \\ =& 1 - \frac{8}{\pi^2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}\exp \left(-\frac{m^2\pi^2}{4}T_v\right) \end{aligned}$$

代表时间 $t$ 时压缩量与总压缩量（通常使用分层总和法计算）的比值，在 $U_t$ 不太小时，可以用级数的第一项近似。式中 $m$ 为正奇数，$T_v$ 称为时间因子：

$$T_v =\frac{C_v}{H_{dr}^2}t$$

其中 $H_{dr}$ 为排水面到不透水层的距离，若为双面排水，则取一半即可。

渗透

名词

总水头 = 速度水头(孔压) + 位置水头

达西定律

$$v = k i$$

$\displaystyle i = \frac{\Delta H}{L}$ 为水力梯度。

达西定律可以与微分方程结合

有效应力

1. 水压变为孔压，不再是静水压力
2. 需要考虑渗流的影响

单位体积渗流力、孔压分别为

$$\begin{aligned} j &= \gamma_w i \\ u_w &= (H - z)\gamma \end{aligned}$$

土压力

静止土压力

$$p = K_0 \sigma_z$$

有水时，水、土分算，土计有效应力，水压各方向相等。

主动土压力

$$p = \gamma zK_a - 2c\sqrt{K_a}\;$$

其中

$$K_a = \tan (45\degree-\varphi/2)$$

被动土压力

$$p = \gamma zK_a + 2c\sqrt{K_a}$$

其中

$$K_a = \tan (45\degree+\varphi/2)$$