土木小屋

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平面问题的求解 ​

平面问题有八个方程，求解时可以使用消元的方法。

按位移求解 ​

以位移为基本未知量进行求解。

  1. 通过物理方程将应力表达为应变
  2. 通过几何方程将应变表达为位移
  3. 将应力关于位移的方程代入平衡微分方程求解

TIP

求解起来比较困难

按应力求解 ​

以应力为基本未知量进行求解。

TIP

通过应力来表示位移往往非常困难，因此不应用于含有位移边界条件的问题。

在平衡微分方程中，仅含有应力，因此可以用于方程的求解。除此以外，还需要从几何方程、物理方程中得出一个方程用于求解。

通过观察几何方程可以发现，三者有一些相关性，进行处理：

∂2εx∂y2+∂2εy∂x2=∂u3∂x∂y2+∂v3∂x2∂y=∂2∂x∂y(∂u∂y+∂v∂x)=∂2∂x∂yγxy\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial u^3}{\partial x\partial y^2} + \frac{\partial v^3}{\partial x^2\partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\gamma_{xy}

这个方程就是相容方程，也称变形协调条件。

∂2εx∂y2+∂2εy∂x2=∂γxy∂x∂y\frac{\partial^2 \varepsilon_{x}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_{y}}{\partial x^2} = \frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial{x} \partial{y}}

相容方程表明，各个应变分量之间不是相互独立的，存在一定的关联，若任意选取，则可能不满足变形协调条件。

用物理方程将其转换为应力，并使用平衡微分方程消去切应力，得到两类平面问题的用应力表示的相容方程。

  • 平面应力问题
(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=−(1+μ)(∂fx∂x+∂fy∂y)\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)(\sigma_{x}+\sigma_{y}) = -(1+\mu)\left(\frac{\partial f_{x}}{\partial x} + \frac{\partial f_{y}}{\partial y}\right)
  • 平面应变问题
(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=−11−μ(∂fx∂x+∂fy∂y)\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)(\sigma_{x}+\sigma_{y}) = -\frac{1}{1-\mu}\left(\frac{\partial f_{x}}{\partial x} + \frac{\partial f_{y}}{\partial y}\right)

当体积力 fx,fyf_x,f_y 为常量时，上述等式右侧都为 0，成为同一个方程，即拉普拉斯方程（调和方程）：

(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=0\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) (\sigma_{x}+\sigma_{y}) = 0

用拉普拉斯算子简写为：

▽2(σx+σy)=0\begin{aligned} \triangledown^2(\sigma_x+\sigma_y) = 0 \end{aligned}

应力函数 ​

首先考察平衡微分方程的解：

{∂σx∂x+∂τxy∂y+fx=0∂σy∂y+∂τyx∂x+fy=0\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial\sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + f_x = 0 \\ \frac{\partial\sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} + f_y = 0 \end{aligned} \right.

在常体力情况下，其解由通解与特解组成。对于通解方程：

{∂σx∂x+∂τxy∂y=0∂σy∂y+∂τyx∂x=0\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial\sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial\sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} = 0 \end{aligned} \right.

必然存在函数 AA 使 ∂A∂y=σx\displaystyle\frac{\partial A}{\partial y}=\sigma_{x} 且 ∂A∂x=−τxy\displaystyle\frac{\partial A}{\partial x}=-\tau_{xy} 、函数 BB 使 ∂B∂x=σy\displaystyle\frac{\partial B}{\partial x}=\sigma_y 且 ∂B∂y=−τyx\displaystyle\frac{\partial B}{\partial y}=-\tau_{yx}。根据切应力互等，又有：存在函数 Φ\Phi 使 ∂Φ∂y=A\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial y}=A、∂Φ∂x=B\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}=B。因此：

σx=∂2Φ∂y2,σy=∂2Φ∂x2,τxy=−∂2Φ∂x∂y \sigma_{x} = \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2},\quad \sigma_{y} = \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2},\quad \tau_{xy} = -\frac{\partial^2\Phi}{\partial x\partial y}

由于 Φ\Phi 来自于平衡微分方程，故其自然满足。则其还需要满足相容方程，即

▽2(σx+σy)=(∂2∂x2+∂2∂y2)(∂2Φ∂y2+∂2Φ∂x2)=0\triangledown^2(\sigma_x+\sigma_y) = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \left( \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} \right) = 0

亦可简写为 ▽2▽2Φ=0\triangledown^2\triangledown^2\Phi = 0 或 ▽4Φ=0\triangledown^4\Phi = 0。