材料力学

轴向拉伸与压缩

1. 应力: 截面内力的均布载荷，归定拉伸时为正，压缩为负

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

2. 切应力互等定理：单元体内相互垂直的面上，切应力成对存在，相互相等

3. 材料拉伸性能：

   • 塑性材料（低碳钢）：
     • 弹性阶段
       $$\sigma = E \varepsilon$$
     • 屈服阶段 $\rightarrow$ 屈服极限
       $$\sigma_s = \frac{F_s}{A}$$
     • 强化阶段 $\rightarrow$ 最高点
       $$\sigma_b = \frac{F_b}{A}$$
   • 脆性材料（铸铁）：
     • 用割线近似原曲线
     • 名义屈服极限

4. 许用应力

   $$[\sigma] = \frac{\sigma^0}{n}, 其中\ n\ 为安全因数，\sigma^0\ 可取\ \sigma_s\ 或\ \sigma_b$$

5. 变形

   • 纵向线应变
     $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{FL}{EA} \frac{1}{L} = \frac{F}{EA}$$
   • 横向线应变
     $$\varepsilon ' = \mu \varepsilon$$
   • 计算变形后某点的位置
     • 分别画出计算伸长量，画出延长线，作其垂线，交点极为所求位置
   • 超静定问题 变形协调条件
     • 过路径上一点作杆的垂线即可

剪切 实用 计算

1. 名义切应力

   $$\tau = \frac{F_S}{A}$$
   $$其中\ A\ 为剪切面面积$$

2. 名义许用切应力

   $$[\tau] = \frac{\tau_b}{n},$$
   $$其中\ \tau_b\ 为名义剪切强度极限,n\ 为安全因数$$

3. 挤压应力

   $$\sigma_{bs} = \frac{F}{A_{bs}}$$
   $$\ 其中\ A_{bs}\ 为有效面积，一般取投影即可$$

4. 挤压许用应力

5. 纯剪切的剪切胡克定律

   $$\tau = G\gamma$$
   $$其中\ \gamma\ 为互成直角的线段之间改变的夹角$$

扭转

1. 圆轴扭转的平面截面假设

   • 横截面保持为平面
   • 横截面的直径保持为直线

2. 扭转角

   $$d\varphi = \frac{\gamma}{R} dx$$
   $$其中\begin{cases} R\ 为圆轴半径\\ d\varphi\ 为相距\ dx\ 的两个截面相对的转角 \end{cases}$$

3. 单位扭转角

   $$\theta = \frac{d\varphi}{dx}$$

4. 切应力

   $$\tau = G\gamma_p = G\rho\frac{d\varphi}{dx}\\ \ \\ 其中\ \rho\ 为该点至轴心的距离$$

5. 考虑平衡

   $$积分得\ M_x = GI_p\frac{d\varphi}{dx}$$
   $$\therefore \theta = \frac{M_x}{GI_p}\\ \ \\ \therefore \tau = \frac{M_xR}{I_p} = \frac{M_x}{W_p} \left(M_p = \frac{I_p}{R_{max}}\right)$$
   $$其中\begin{cases} G &为切变模量\\ M_x &为截面上的扭矩\\ I_p &为截面的极惯性矩\\ M_p &为抗扭截面系数\\ \end{cases}$$

6. 抗扭截面刚度

   $$GI_p$$

7. 许用切应力

8. 许用扭转角 [ θ ]

弯曲

弯曲内力

1. 载荷、剪力、弯矩关系

   $$F_S(x) = \int_0^{x}{q}{\ dl} \\ \ \\ M(x) = \int_0^{x}F_S\ dl$$

   其中： $q\quad$ 取向上为正 $F_s\;\;$ 取使材料顺时针旋转为正 $M_x\,$ 取使材料下凸为正

弯曲应力

1. 正应力

   $$\sigma = \frac{M_x\ y}{I_z} \\ \ \\ [\sigma] = \frac{M_x\ y_{max}}{I_z} = \frac{M_x}{W_p} \left(W_p = \frac{I_z}{y_{max}}\right)$$

2. 切应力

   $$\tau = \frac{F_S\ S_z^*}{I_z\ b}\\ \ \\ 其中\begin{cases} F_S\ 为截面处的剪力\\ S_z^*\ 为该高度往上部分的静矩\\ b\quad 为该高度的割线长度 \end{cases}$$

压杆稳定

欧拉公式

压杆失稳临界力

$$F = \frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2}$$

$\mu$ 的值取决于固定方式。可以通过数 $\pi$ 的方式确定 $\mu$。常见的固定方式如下。

固定方式	μ
铰支+铰支	$1.0$
固定+固定	$0.5$
固定+自由	$2$
固定+铰支	$0.7$

欧拉公式的适用范围

临界应力

$$\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(\mu l)^2A} = \frac{\pi^2Ei^2}{(\mu l)^2 } \triangleq \frac{\pi^2E}{\lambda^2}$$

从而定义柔度（长细比）$\lambda$，其值为 $\lambda=\mu l/i$，其中 $i$ 为惯性半径，$i=\sqrt{I/A}$。

主应力

平面应力状态

主应力：切应力为 $0$ 的平面内的正应力。

$\alpha$ 为平面法线与右侧截面法线的夹角。

三个主应力正交。$\sigma_1$、$\sigma_2$、$\sigma_3$ 按从大到小的顺序排列。

$$\begin{aligned} \tau_{max} =& \sqrt{\left(\frac{\sigma_x -\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 } \\ \tau_{min} =& -\tau_{max} \\ \ \\ \sigma_{max} =& \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \tau_{max} \\ \sigma_{min} =& \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \tau_{max} \\ \ \\ \alpha_0 =& \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{-2\tau_{xy} }{\sigma_x-\sigma_y}\right) \end{aligned}$$

强度理论

第一强度理论
脆性断裂是由于微元内的最大拉应力达到了一个极限。
适用于大部分脆性材料受拉应力作用

第二强度理论
脆性断裂是由于微元内的最大拉应变达到了一个极限。
适用于处于一拉一压的二向应力状态的脆性材料

第三强度理论
发生屈服是由于微元内的最大切应力达到了一个极限。
适用于塑性材料

第四强度理论
发生屈服是由于微元的形状改变比能达到了一个极限。
？？？

平面几何性质

静矩

$$\begin{aligned} S_z = \int_{\Omega}ydA = z_cA \\ S_y=\int_{\Omega}zdA = y_cA \end{aligned}$$

惯性矩、极惯性矩、惯性积

极惯性矩

$$I_p = \int_{\Omega}\rho^2dA$$

惯性矩

$$I_z = \int_{\Omega}y^2dA$$

惯性积

$$I_{xy} = \int_{\Omega}xydA$$

惯性半径

$$i_z = \sqrt{\frac{I_z}{A} }$$

平行移轴公式

$$\begin{aligned} I_z &= I_{z_c} + b^2 A \\ I_{xy} &= I_{x_cy_c} + abA \end{aligned}$$

转轴公式

$$\begin{aligned} I_{z'} &= \frac{I_z+I_y}{2} + \frac{I_z-I_y}{2}\cos 2\alpha - I_{zy}\sin 2\alpha \\ \ \\ I_{y'} &= \frac{I_z+I_y}{2} - \frac{I_z-I_y}{2}\cos 2\alpha + I_{zy}\sin 2\alpha \\ \ \\ I_{z'y'} &= \frac{I_z-I_y}{2}\sin 2\alpha + I_{xy}\cos 2\alpha \end{aligned}$$