结构力学(静力部分)

几何不变、静定与超静定

静定结构分析

方向约定

1. 轴力方向以杆件受拉为正
2. 剪力方向以微段顺时针旋转为正
3. 弯矩方向一般以下侧受拉为正，这一点与材料力学相同
4. 画图时弯矩画在受拉侧，仅弯矩不需要标正负

求解步骤

1. 力的平衡方程
   • 多一个铰接点就多一个力矩平衡方程（三个力矩平衡方程选两个）
   • 弯矩平衡方程应选择尽可能多的力的交汇点
   • 有时可以根据二力杆的特性找出两个力的合力方向
2. 根据求得的支座反力画剪力图
3. 根据弯矩、剪力的积分关系画弯矩图
   • 弯矩连续
   • 弯矩总是直线叠加一个荷载引起的图案，荷载为均布力时为一个最大值为 $ql^2$$\textbf{/}\,8$ 的抛物线

静定桁架

结点法

适用于求解所有杆件的轴力

1. 零力杆判定
   • 两根杆不同方向：两根杆均为零力杆
   • 三根杆中两根共线：另一根为零力杆
2. 从能够求解的节点(大多数时候为支座所在节点)出发，一步一步推进

截面法

适用于求解特定杆件的轴力

本质为隔离体法，通过一个假想的截面截出一部分隔离体，由于轴力方向就是杆件的方向，通过使这样的力共线、平行、交汇，来求出特定杆件的轴力

虚功原理与静定体系

虚功原理

变形体虚功原理

对于同一个结构，构建两个系统，外力系为平衡力系，变形体系满足变形协调条件。则外力虚功等于内力虚功，即

$$\delta_{ext}=\delta_{int}$$

刚体体系虚功原理

设在刚体体系上作用任意平衡力系，则该平衡力系在该刚体体系发生的任意可能位移上所作的虚功之和恒为零。

可能位移

符合刚体体系约束条件的位移

静定结构求支座反力

表现为理论力学中的虚位移原理。

一个结构在一个平衡力系的作用下保持平衡，要求一个约束力。解除一个约束，代之以一个作用力 $P$ ，则这个力可以作为平衡力系的一部分。接下来就只需要构建一个变形系统，假定系统在该作用力的方向有一个大小为 $\Delta=1$ 的变形，那么外力虚功

$$\delta_{ext}=P+\sum_i^m P_i\Delta_i = \delta_{int} = 0$$

TIP

$\delta_{int} = 0$ 的原因在于，静定结构解除约束后变成了一个刚性的机构，不存在内力。

静定结构求杆件内力

求什么内力就解除什么类型的约束。内力虚功仍为 $0$，但是虚位移需要仔细考虑。

静定结构求变形

取名为图乘法。

$$\begin{aligned} \delta_{int,\sigma} &= \int\overline{\sigma}\varepsilon dAdx + \int\overline{\tau}\gamma dAdx \\ &= \iint\left(\frac{\overline{N}}{A}+\frac{\overline{M}y}{I}\right)\left(\frac{N}{EA}+\frac{My}{EI}\right)dAdx \\ &= \int\frac{\overline{N}N}{EA}dx + \int \frac{\overline{M}M}{EI}dx \end{aligned}$$

有使用条件

上式中利用了 $\int ydA=0, \int y^2dA=I$ 。故要求截面均匀且关于 $z$ 轴对称。

对于 $\int f(x)g(x)dx$ ，设 $f(x)$ 可表示为 $ax+b$ ，则：

$$\begin{aligned} \int (ax+b)g(x) dx &= a\int xg(x) dx + b\int g(x)dx \\ &= aA_{g(x)}x^* + bA_{g(x)} \\ &= f(x^*)A_{g(x)}\\ \end{aligned}$$

实际应用中，总可以取 $\overline{M}$ 为线性的。

形心位置

二次函数：$3/4L$ 或 $5/8 L$，面积为 $1/3hl$ 或 $2/3hl$

三次函数：$4/5L$ 或 $3/5 L$，面积为 $1/4hl$ 或 $3/4hl$

已知形变求力

超静定结构与力法

基本思想

在多余约束处解除约束，代之以一个力，然后用叠加原理使该处满足约束条件。记原荷载在第 $i$ 处引起的位移为 $\Delta_{ip}$ ，$p$ 代表原荷载。记第 $j$ 个虚力 $X_j=1$ 在第 $i$ 处引起的位移为 $\delta_{ij}$ ，则第 $i$ 处的位移协调方程为：

$$\Delta_{iC} = \Delta_{ip} + X_1\delta_{i1} + X_2\delta_{i2} + \dots$$

由位移互等定律可以得到 $\delta_{ij} = \delta_{ji}$ ，由此可以简化计算。

解方程组即得各个多余约束处的支座反力。随后由叠加法可以画出弯矩图。

由于方程的个数等于多余约束的个数，力法适用于多余约束比较少的情况。

解题步骤

• 判断超静定次数
• 选择合适的基本未知量
• 画出各个弯矩图(桁架为轴力)
• 图乘法计算 $\Delta_{1p}, \delta_{11}$ 等
• 判断变形协调条件，列方程、解方程
• 叠加法画出最终的内力图

超静定结构位移计算

由以上步骤已经可以得到弯矩图。欲求截面位移，只需在任意基本静定结构上作用一个虚力，而后使用图乘法即可。

合理列出方程

解除约束

力法解除约束可以得到力法基本未知量。一个超静定结构可以有很多种解除约束的方法，不同的方法会影响计算量。经验上，一下操作可以减少计算量：

1. 在均布荷载结束处添加较

变形协调

大多数时候变形协调到 $0$ 。但总有例外，比如：

1. 解除弹簧约束
2. 解除桁架内部约束（移除杆件）

超静定结构与位移法

转角-位移方程

$$\left\{ \begin{aligned} M_{AB} &= 4i\theta_A + 2i\theta_B - \frac{6i}{L}\Delta \\ M_{BA} &= 2i\theta_A + 4i\theta_B - \frac{6i}{L}\Delta \\ Q_{AB} = Q_{BA} &= -\frac{6i}{L}\theta_A - \frac{6i}{L}\theta_B + \frac{12i}{L^2}\Delta \end{aligned} \right.$$

其中：$M_{AB}, M_{BA}$ 分别为杆端 $A, B$ 处矩，$Q_A, Q_B$ 为杆端 $A, B$ 处剪力，$\Delta$ 为杆端相对位移，$\theta_A, \theta_B$ 为杆端转角，方向均以顺时针或使杆件顺时针旋转为正。

有一个重要的记忆法：

$$Q_{AB} = Q_{BA} = -\frac{M_{AB}+M_{BA}}{L}$$

三类杆件

I类杆（远端固定支座）：

$$\left\{ \begin{aligned} M_{AB} &= 4i\theta_A - \frac{6i}{L}\Delta \\ M_{BA} &= 2i\theta_A - \frac{6i}{L}\Delta \\ \end{aligned} \right.$$

II 类杆（远端较支座）

$$\left\{ \begin{aligned} M_{AB} &= 3i\theta_A - \frac{3i}{L}\Delta \\ M_{BA} &= 0 \end{aligned} \right.$$

III 类杆（远端滑动支座）

$$\left\{ \begin{aligned} M_{AB} &= i\theta_A \\ M_{BA} &= -i\theta_A \end{aligned} \right.$$

节间荷载产生的杆端力

杆件类型	荷载类型	$M_{AB}$	$M_{BA}$	$Q_{AB}$	$Q_{BA}$
I	均布	$-qL^2/12$	$qL^2/12$	$qL/2$	$-qL/2$
I	集中	$Pab^2/L$	$Pa^2b/L$	$P/2$	$-P/2$
II	均布	$-qL^2/8$	$0$	$5qL/8$	$3qL/8$
II	集中	现推	$0$	现推	现推
II	集中(跨中)	$-3PL/16$	$0$	$11P/16$	$-5P/16$
III	均布	$-qL^2/3$	$-qL^2/6$	$qL$	$0$
III	集中	$-Pa(2L-a)/2L$	$-Pa^2/2L$	$P$	$0$
III	集中(跨中)	$-3PL/8$	$-PL/8$	$P$	$0$

解题步骤

• 添加附加约束，形成位移法基本结构
• 对每根杆列位移-转角方程
• 写出在附加约束处的平衡方程
• 解出节点位移
• 代回原方程，得到各杆端弯矩与剪力
• 画出剪力、弯矩图

对称结构分析

对称荷载的对称轴处剪力为 $0$ ，反对称荷载轴力、弯矩为 $0$。

温度变化分析

支座沉降分析