量子物理

黑体辐射

1. 单色辐出度
2. 辐出度
3. 单色吸收比

黑体满足下列定律 斯特藩·玻尔兹曼定律

$$M(T) = \sigma T^4,$$

其中 $\sigma = 5.67\times10^{-8} W/(m^2 * K^4)$

维恩位移定律

$$\lambda_m T = b$$

其中 $b = 2.897\times10^{-3}m*K$

黑体辐射公式

$$M_0(\lambda, T) = 2\pi h c^2 \lambda^{-5} \frac{1}{e^{hc/Tk_B\lambda}-1}$$

公式间关系：

graph LR;
A(黑体辐射公式) --- |求极值| C(维恩位移定律);
A --- |积分| B(斯特藩-玻尔兹曼定律);
D(维恩公式) --- |" λ" 很小| A;
E(瑞利-金斯公式) --- |" λ" 很大| A;

光电效应

爱因斯坦光电效应方程

$$h\nu = A + \frac{1}{2}mv^2$$

名词	解释	符号
饱和电流	$U$ 增大到一定值时 $I$ 不再增大
遏止电压	$U$ 反向增大至一定值时 $I = 0$	$U_0$
红限频率	$\nu$ 减小到一定值时不能发出光电子	$\nu_0 = eU_0/h$
逸出功	光电子逸出金属需要的功
最大初动能	一定频率下光电子逸出后的最大初动能	$A = eU_0$

光子动量

$$p = mc = \frac{mc^2}{c} = \frac{h\nu}{c}$$

康普顿效应

实验

测量不同散射角下散射光的波长与强度

碰撞中的能量与动量守恒**

$$\begin{aligned} h\nu_0 &= h\nu + (m - m_e)c^2 \\ \frac{h\nu_0}{c} &= \frac{h\nu}{c}\cos\theta + mv\cos\varphi \\ 0 &= \frac{h\nu}{c}\sin\theta - mv\sin\varphi \end{aligned}$$

波长差与 $\theta$ 关系

经过一通计算

消去 $\varphi$ :

$$\frac{h^2}{\lambda_0^2} + \frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2}{\lambda\lambda_0}\cos\theta = m^2v^2$$

能量守恒式可得:

$$\frac{h}{\lambda_0} - \frac{h}{\lambda} + m_ec = mc$$

由于相对论：

$$m^2(c^2-v^2) = m_e^2c^2$$

代入即得

$$h(\cos\theta-1) + (\lambda-\lambda_0)m_0c = 0$$

解得

$$\pmb{ \Delta\lambda = \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) \triangleq 2\lambda_c\sin^2\frac{\theta}{2} }$$

其中

$$\lambda_c = \frac{h}{m_ec} = 2.43\times10^{-12}m$$

称为电子的康普顿波长。

电子反冲能量

能量守恒即可

$$E = \frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda}$$

电子反冲动量

两个方向动量守恒即可

德布罗意波

能量-动量关系

$$E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$$

氢原子光谱

能级公式：

$$E_n = \frac{-13.6eV}{n^2}$$

在不同的波段，表现为不同的线系，巴耳末系为跃迁至 n=2 能级的线系。

薛定谔方程

自由粒子波函数

自由粒子不受外力作用，动量、能量不变 $\Rightarrow$ $\nu$，$\lambda$ 不变，故

$$\begin{aligned} \Psi(x, t) =& \Psi_0[\cos2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})] \\ =& \Psi_0\cos\frac{1}{\hbar}(Et-px) \\ =& \Psi_0e^{-\frac{i}{\hbar}px}e^{\frac{i}{\hbar}Et} \\ \triangleq& \phi(x)e^{\frac{i}{\hbar}Et} \end{aligned}$$

$\phi(x)$ 叫做定态波函数。

微观粒子波动性的统计解释

单位体积==电磁能量==

$$W \propto E_0^2$$

光子出现的概率

$$\rho \propto n =\frac{W}{h\nu} \propto E_0^2 \propto |\Psi|^2$$

该关系被波恩逆向++推广++，$|\Psi|^2$一定代表某个粒子在时空中出现的概率，因而有了两个条件：

1. 波函数单值、连续、可微
2. 归一化条件：对整个空间积分结果为 1

波动方程

由

$$\Psi(x, t) = \Psi_0e^{\frac{i}{\hbar}(Et-px)}$$

对时间 $t$ 求导，得==能量算符==

$$\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$$

对空间 $x$ 求导，得==动量算符==

$$\hat{p}_x = - i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$

一维自由粒子

$$E = \frac{p^2}{2m}$$

$$\therefore \hat{E}\Psi(x, t) = \frac{\hat{p}^2}{2m} \Psi(x, t)$$

$$\therefore i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x, t) = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t)$$

推广到一般自由粒子，粒子所处的势场为 $U(x, t)$。

$$i\hbar\frac{\partial\Psi(x, t)}{\partial t} = \left[- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +U(x, t)\right] \Psi(x, t)$$

定义==哈密顿算符==

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t) = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + U(x,t)$$

拓展到三维势场中：

$$\because E = H = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m} + U(\vec{r}, t)$$

$$\therefore \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) + U(\vec{r}, t)$$

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangledown^2+U(\vec{r}, t)$$

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r}, t) = \hat{H}\Psi(\vec{r}, t)$$

定态问题

势能函数U与时间无关时，$\hat{H}$与时间无关，薛定谔方程可用分离变量法求解（$\Psi$可分解为坐标函数与实践函数乘积）

不确定性关系

$$\Delta x\cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$$

$$\Delta E\cdot \Delta t \ge \hbar/2$$

不确定性关系的应用

几率流密度

算符

基本关系

$$\overline{F} = \int F\Psi(x)\Psi^*(x)dx = \int \Psi^*(x) \hat{F}\Psi(x)dx$$

常用算符

算符	值
$\hat{p_x}$	$-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$
$\hat{p}$	$-i\hbar\Delta$
$\hat{E}$	$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$
$\hat{x}$	$x$
$\hat{L_x}$	$\hat{y}\hat{p_z}-\hat{z}\hat{p_y}$
$\hat{L_y}$	$\hat{y}\hat{p_x}-\hat{z}\hat{p_z}$
$\hat{L_z}$	$\hat{y}\hat{p_y}-\hat{z}\hat{p_x}$
$\hat{L^2}$	$\hat{L_x^2}+\hat{L_y^2}+\hat{L_z^2}$

算符的一般性质

1. 量子物理中讨论的算符都是线性的
2. 加法交换律
3. 乘法分配律、结合律，但不满足交换律

对易关系

对易括号

$$\hat{F}\hat{G} - \hat{G}\hat{F} \triangleq \left[\hat{F}, \hat{G}\right]$$

对易关系的规律

1. $[\hat{F}, \hat{G}] = -[\hat{G}, \hat{F}]$
2. $[\hat{F}, \hat{G}+\hat{R}] = [\hat{F}, \hat{G}] + [\hat{F}, \hat{R}]$
3. $[\hat{F}, \hat{G}\hat{R}] = [\hat{F}, \hat{G}]\hat{R} + \hat{G}[\hat{F}, \hat{R}]$
4. $\left[\hat{F}, [\hat{G}, \hat{R}]\right] + \left[\hat{G}, [\hat{R}, \hat{F}]\right] + \left[\hat{R}, [\hat{F}, \hat{G}]\right] = 0$

常用对易关系

1. $\left[\hat{p_x}, \hat{F}\right] = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\hat{F}$
2. $\left[\hat{r_i}, \hat{r_j}\right]=0$
3. $[\hat{p_i}, \hat{p_j}]=0$
4. $[\hat{L_i}, \hat{L_j}]=i\hbar\hat{L_k}\varepsilon_{ijk}$
5. $[\hat{r_i}, \hat{p_j}]=i\hbar\delta_{ij}$
6. $[\hat{L_i}, \hat{p_j}]=i\hbar\hat{p_k}\varepsilon_{ijk}$
7. $[\hat{L^2}, \hat{L_i}]=0$

本征值、本征函数

算符 $\hat{F}$ 作用于某个函数 $u$ 有

$$\hat{F}u = \lambda u$$

则 $\lambda$ 为 $\hat{F}$ 的本征值，$u$ 为 $\hat{F}$ 的本征函数，上式为 $\hat{F}$ 的本征方程。

厄密算符

定义

$$\int\psi^*\hat{F} \varphi dV = \int (\hat{F}\psi)^*\varphi dV$$

其中 $\psi, \varphi$ 为任意两个波函数。

性质

1. 本征值为实数
2. 本征函数彼此正交
3. 本征函数具有完备性

量子力学的另一个基本假设

在任何状态下测一力学量，

1. 单次测量的结果必是这力学量的某一本征值，
2. 经过测量后，原先的状态转变为与这个特殊本征值相应的本征态。

常见力学量的本征函数

坐标算符

$$x\Psi(x) = x_0\Psi(x) \Rightarrow \psi(x) = \delta(x)$$

动量算符

角动量算符

表象变换

如何寻找变换矩阵

势阱

什么是隧道效应有限位势垒-推导