坐标变换

平移

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$$

用矩阵乘法也表示为：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

旋转

绕原点的旋转，通过几何或复数($e^{i\theta}z$)来推导：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

一般变换

先

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & a \\ \sin\theta & \cos\theta & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$$

求变换矩阵

只需要两个点的坐标就能知道变换矩阵。

设坐标系 $A$ 中两点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$, $B$ 中两点 $(x_1', y_1'), (x_2', y_2')$ ，则

$$\begin{bmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2' - x_1' \\ y_2' - y_1' \end{bmatrix}$$

可解得 $\theta$ 。则变换矩阵为：

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & x_1 - x_1' \\ \sin\theta & \cos\theta & y_1 - y_1' \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$