适用条件

线性齐次常系数微分方程，形如

$$a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y^{(1)} + a_0 = 0$$

推导

观察到 $y=e^{rx}$ 符合条件，以此为假设，则 $x=0$ 时：

$$a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0$$

该方程即为特征方程。

特征方程根的含义

相异实根

对应的项为

$$Ce^{rx}$$

推导

所有满足 $y=e^{rx}$ 的解都是微分方程解，再由[[叠加原理]]知道方程解为：

$$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots$$

重根实根

$k$ 次重根 $r$ 对应项为

$$e^{rx}\left(C_0 + C_1x + \cdots + C_{k-1}x^{k-1}\right)$$

推导

若特征方程有 $k$ 个重复根 $r_1$ ，则可以确定 $y=e^{r_1x}$ 是原方程的解，但是却不能提供更多信息。

共轭复数根

与实数根完全一致，但是可以展开为三角函数。$r = a \pm b i$ 对应的项：

$$e^{ax}(C_1\cos bx + C_2\sin bx)$$

例子

自由振动方程

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$$

稍简化一下：

$$\ddot{x} + \frac{c}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0$$

特征方程

$$r^2 + \frac{c}{m}r + \frac{k}{m} = 0$$

的解为

$$\begin{aligned} r_1 = \frac{1}{2m} (-c + \sqrt{c^2 - 4k}) \\ r_2 = \frac{1}{2m} (-c - \sqrt{c^2 - 4k}) \end{aligned}$$

特殊情况下的解

• 无阻尼自由振动 $\displaystyle x = A\sin\omega t + B\cos\omega t$ ， $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ；
• 无阻尼受迫振动 $\displaystyle x = A\sin\omega t + B\cos\omega t - \frac{P\sin(\omega_d t)}{k-m\omega_d^2}$ , $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ；