弹簧振子的振动

自由振动

由 $\displaystyle-kx = m\ddot x$ 解得 $x = A\sin\omega x + B\cos\omega x$ ，其中 $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 为固有频率。

对于给定的初始条件，可以给出 $A = v_0$ ， $B = x_0$ ，分别为初速度与初位移。

受迫振动

假设外力为简谐振动，由 $m\ddot x = -kx + P\sin \theta x$ 解得

$$x = A\sin\omega t + B\cos\omega t + \frac{P\sin(\theta t)}{k-m\theta^2} ,$$

其中 $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 为固有频率， $\theta$ 为外力频率。

为了研究 $\theta$ 对振幅的影响，将 $k = m\omega^2$ 代入，并假设初速度与初位移为 $0$ ，得

$$x = \frac{P}{k}\frac{\sin(\theta t)}{1-\displaystyle\frac{\theta^2}{\omega^2}}$$

对于静力来说，最大位移 $\displaystyle x_{max} = \frac{P\sin(\theta t)}{k}$ ，则可定义动力放大系数

$$MF = \frac{1}{1-\displaystyle\frac{\theta^2}{\omega^2}}$$

• $\theta \rightarrow 0$ 时 $MF \rightarrow 1$ ，相当于静力
• $\theta \rightarrow \omega$ 时 $MF \rightarrow \infty$ ，发生共振
• $\theta \rightarrow \infty$ 时 $MF \rightarrow 0$ ，结构来不及响应

非简谐振动场景

通解依旧，需要重新找特解。

有阻尼自由振动

振动方程

$$m\ddot x = -kx - c\dot x$$

定义阻尼比 $\displaystyle \xi = \frac{c}{2m\omega}$ , 又由 $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ , 改写原方程为

$$\ddot x + 2\xi \omega \dot x + \omega^2 x = 0$$

解得

$$x = C_1 e^{\omega t(-\xi +\sqrt{\xi^2-1})} + C_2e^{-\omega t(\xi +\sqrt{\xi ^ 2 - 1})}$$

这里研究 $\xi$ 很小的情况。

令 $\omega_r = \omega \sqrt{1-\xi^2}$ ，则

$$x = e^{-\omega t \xi} (A\sin\omega_r t + B \cos\omega_r t)$$

迅速衰减，并可依此由实验得出阻尼比。

有阻尼受迫振动

振动方程

$$kx + c\dot x + m\ddot{x} = P\sin{\theta t}$$

通解同有阻尼自由振动，特解可设为

$$A\sin{\theta t} + B\cos{\theta t}$$

代回方程可解出 $A$ , $B$ 。由于自由振动解很快衰减，特解中放大系数

$$\frac{1}{ MF} = \frac{x_{max}}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{ \left(1-\frac{\theta^2}{\omega^2}\right)^2 + 4\xi^2\frac{\theta^2}{\omega^2} }$$

• $\theta \rightarrow 0$ 时，$MF \rightarrow 1$
• $\theta \rightarrow \omega$ 时，$\displaystyle MF \rightarrow \frac{1}{2\xi}$
• $\theta \rightarrow \infty$ 时，$MF \rightarrow 0$

极值与自动振动比，偏左下。

符号	说明	符号	说明
$x$	位移，为时间 $t$ 的函数	$k$	刚度系数
$m$	质点质量	$c$	阻尼系数
$\omega$	固有频率 $\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$	$P$	外力最大值
$\theta$	外力简谐振动频率	$MF$	动力放大系数
$\xi$	阻尼比 $\displaystyle\xi = \frac{c}{2m\omega}$