无限自由度系统

在无限自由度里，位移表示为 $x$ 和 $t$ 的函数，即 $y(x, t)$ 。方程

$$EI \frac{\partial^4y}{\partial x^4} + \bar{m} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0$$

用分离变量法求解：

假设

$$y = f(x)\cdot Y(t)$$

则

$$\begin{aligned} &EI\cdot Y(t) f^{(4)}(x) + \bar{m}f(x)\cdot Y^{(2)}(t) = 0 \\ &\frac{EI}{\bar{m}}\frac{f^{(4)}(x)}{f(x)} = \frac{Y^{(2)}(t)}{Y(t)} = \omega^2 \end{aligned}$$

得

$$\begin{aligned} Y(t) &= \rho\sin(\omega t+\alpha) \\ f(x) &= A_1 \cos\lambda x + A_2\sin\lambda x + A_3\cosh\lambda x + A_4\sinh\lambda x \end{aligned}$$

其中

$$\lambda = \sqrt[4]{\frac{\omega^2 \bar{m}}{EI}}$$

通过代入边界条件就可以得到一系列 $\lambda$ 和 $\omega$ 。