反应谱法

振动方程及其解答

记 $x_g$ 为地面位移，则单质点体系振动方程可写作

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) = -m\ddot{x_g} = -m|\ddot{x_g}|_{max}\sin \theta t$$

其解可参照结构力学中 弹簧振子，考虑自由振动的快速衰减，设$|\ddot{x_g}|_{max}=kg$，动力放大系数为 $\beta$ ，近似得到：

$$m\ddot{x}(t) = \beta m |\ddot{x_g}|_{max} \sin\theta t \le k\beta mg = k\beta G$$

令 $|\ddot{x}|_{max}=S_a$，则水平地震作用力代表值

$$F_{Ek} = mS_a = k\beta G$$

WARNING

这里的几个公式是基于结构力学的、十分简化的、代表个人定性理解的很不准确的公式，与实际情况很不相同。实际中记录的地震波为很不规则的形状，而不是这里的 $\sin$ 函数，故通常是使用杜哈梅积分来进行计算；此外，也要注意 $\beta$ 与结构力学中动力放大系数 $MF$ 的差异。

k 的确定

根据统计资料可以确定烈度 $I$ 与 $k$ 的关系；再根据基本烈度可以得到 $k$ 值。可通过查表得出。

$I$	$6$	$7$	$8$	$9$
$k$	$0.05$	$0.10(0.15)$	$0.20(0.30)$	$0.40$

• 是否按括号中取值需要根据规范查表
• 建筑场地为 III 、IV 时，对于 $0.15g$ 与 $0.30g$ 的建筑，需要按照 $0.20g$ 与 $0.40g$ 进行设计

TIP

该表中的 $k$ 由基本烈度得到，意味着它也是超越概率 10% 的地震动峰值加速度

β 的确定

$\beta$ 与诸如场地特征周期、建筑自振频率、阻尼比等因素有关。根据多条记录可以得到反应谱曲线 $\beta\text{-}T$ 关系。

为了便于计算，设 $\alpha = k\beta$，称为地震影响系数，同理可得到 $alpha-T$ 曲线。曲线分 4 段，有几个关键点：$(0, 0.45\alpha_{\max})$、$(0.1, \alpha_{\max})$、$(T_g, \alpha_{\max})$、$(5T_g, 0.2^{0.9}\alpha_{\max})$。各段均有各自的表达式。

特征周期 $T_g$ 与场地类型与抗震设计分组有关（单位：$s$）：

场地类别	第一组	第二组	第三组
$I_0$	0.20	0.25	0.30
$I_1$	0.25	0.30	0.35
$II$	0.35	0.40	0.45
$III$	0.45	0.55	0.65
$IV$	0.65	0.75	0.90

当计算罕遇地震作用时，$T_g$ 应增加 $0.05s$。

地震影响系数最大值 $\alpha_{max}$ 与烈度有关：

设防烈度	6度	7度	8度	9度
多遇地震	0.04	0.08 (0.12)	0.16 (0.24)	0.32
设防地震	0.113	0.23(0.338)	0.45(0.675)	0.90
罕遇地震	0.28	0.50 (0.72)	0.90 (1.20)	1.40

α 取值

以下为 $\xi=0.05$ 时的地震影响系数曲线。当 $\xi\not ={0.05}$ 时，需要根据规范进行一定的调整。

α_max = T_g =

计算流程

分析结构刚度/柔度，计算结构自振周期 $T$，查表得 $\alpha$，地震荷载代表值 $F_{Ek}=\alpha G$。

多质点振动体系得反应谱法

推导过程过于复杂，不再陈述

按照结构力学多质点体系得自由振动方程，可以得出不同的振型。各振型下水平地震作用力标准值为：

$$F_{ij} = \alpha_{j} \gamma_{j} x_{ij} G_{i}$$

各参数含义如下：

参数	含义
$F_{ij}$	第 $j$ 振型在第 $i$ 质点上的水平地震作用标准值
$\alpha_{j}$	对应于第 $j$ 振型自振周期 $T_j$
$\gamma_{j}$	第 $j$ 振型的振型参与系数
$x_{ij}$	第 $j$ 振型在第 $i$ 质点处的水平相对位移
$G_{i}$	第 $i$ 质点的重力荷载代表值，包括恒载、活载及组合值

相对位移的取值

理论上振型可以自由放大，在振型层面都是正确的，但是由于需要计算作用力，归一化后，需要所有的 1 都在同一个质点上。

振型参与系数 $\gamma$ 计算公式：

$$\gamma_j = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{ij} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{ij}^2 }$$

由此可算出各振型下的地震反应。但是，由于地震反应谱法用的是各振型下的地震作用最大值，而各振型的最大值不一定同时出现，在进行作用效应组合时需要进行折减。

$$S = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} S_j^2}$$