底部剪力法

基本假设与适用条件

作为一种近似计算方法，底部剪力法作了如下假设：

• 仅考虑第一振型
• 假设第一振型为为一条直线，即 $x_{i1}=\eta H_i$

适用条件

1. 重量与高度沿高度分布比较均匀
2. 高度不超过 40m
3. 以剪切变形为主（高宽比小于 4）

原理

作用在第 $i$ 质点上的地震作用力为：

$$F_{i1} = \alpha_{1} \gamma_{1} \eta H_i G_i$$

所以底部剪力为：

$$F_{Ek} = \sum_{i=1}^{n} F_{i1} = \alpha_{1} \gamma_{1} \eta \sum_{i=1}^{n}H_i G_i$$

其中，第一振型参与系数 $\gamma_{1}$ 可以表示为：

$$\gamma_{1} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_i \eta H_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_i (\eta H_i)^2} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} G_iH_i}{\displaystyle \eta \sum_{i=1}^{n} G_i H_i^2}$$

代入 $F_{Ek}$ 表达式即得：

$$F_{Ek} = \alpha_{1} \frac{\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} G_iH_i\right)^2}{\displaystyle \eta \sum_{i=1}^{n} G_i H_i^2} = \alpha_{1} \frac{\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} G_iH_i\right)^2}{\displaystyle \eta \sum_{i=1}^{n} G_i H_i^2} \cdot \frac{G}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} G_i} \triangleq \alpha_{1} \xi G$$

近似与简化

《抗震规范》对 $\xi$ 作了统计分析，并取 $\xi=0.85$。

而后由比值关系可以求出单个质点的地震作用力

$$F_i = \frac{H_i G_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} H_i G_i}$$

使用步骤

1. 按与反应谱法中所述的步骤查得 $\alpha_{1}$
2. 按 $F_{Ek}=\alpha_{1}\xi G$ 计算底部剪力
3. 分配给各质点

顶部附加地震作用力

周期较长时，底部剪力法计算结果不太理想。此时可以对其进行调整：

1. 将 $\delta_n F_{Ek}$ 的作用力作为附加地震作用，直接作用在结构顶部
2. 所有层按比例分配剩余 $(1-\delta_n)F_{Ek}$

其中 $\delta_n$ 与周期有关，可以查表。