土木小屋

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复变函数与积分 ​

复数的运算 ​

reθi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)re^{\theta i} = r(\cos \theta + i\sin\theta)

对 z≠0z\ne0，主辐角可约定为

−π<Arg⁡z≤π-\pi < \operatorname{Arg}z \le \pi

复变函数的性质 ​

可导性 ​

设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，则其可导的必要条件为：

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

极坐标形式为：

∂u∂r=1r∂v∂θ, ∂v∂r=−1r∂u∂θ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\ \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}

f(z)f(z) 的导数：

f′(z)=∂u∂x+i∂v∂xf'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}

若 u,vu,v 在点处可微，则满足 C-RC\text{-}R 方程是复可导的充要条件。

若 u,vu,v 在该点的某邻域内具有连续的一阶偏导数，则满足 C-RC\text{-}R 方程可推出 ff 在该点复可导。

C-RC\text{-}R 方程与调和函数 ​

调和函数满足：

uxx+uyy=0,vxx+vyy=0u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad v_{xx}+v_{yy}=0

若相关二阶偏导数连续，由 C-RC\text{-}R 方程求导可得 u,vu,v 都满足调和方程。

称这样的 u,vu, v 为共轭调和函数。（由一对共轭调和函数构成的复变函数为解析函数）

已知解析函数实部求虚部 ​

根据 C-RC\text{-}R 条件列方程，积分可得。

解析性 ​

函数 f(z)f(z) 在区域 DD 内处处可导。

初等解析函数 ​

指数函数 ​

ez=ex(cos⁡y+isin⁡y)e^{z} = e^x(\cos y+i\sin y)

性质

  1. 以 2πi2\pi i 为周期
  2. lim⁡z→∞ez\lim_{z\rightarrow\infty}e^z 不存在：沿实轴趋于无穷，而沿虚轴保持有界振荡。

对数函数 ​

满足 eω=ze^\omega = z 的 ω\omega 为 zz 的对数函数，其中 z≠0,∞z\not ={0, \infty}

ω=ln∣z∣+iarg⁡z+2kπi\omega = ln|z| + i \arg z + 2k\pi i

性质

  1. Ln⁡z\operatorname{Ln}z 是多值函数，不是单值解析函数；在去掉负实轴及原点的区域上选定辐角的一支后，才得到解析的单值分支，其主值记作 Log⁡z=ln⁡∣z∣+iArg⁡z\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z。
  2. 在每一支上有 Log⁡′(z)=1/z\operatorname{Log}'(z) = 1/z

一般指数函数 ​

为多值函数，与指数函数有很大的不同

ξz=ezLnξ\xi^z = e^{zLn\xi}

幂函数 ​

ω=zα=eαLnz=eαln⁡z⋅e2kπiα\omega = z^\alpha = e^{\alpha Lnz} = e^{\alpha \ln z}\cdot e^{2k\pi i\alpha}
  1. α=n\alpha=n 时 ω=zn\omega = z^n 为整个平面内解析的单值函数
  2. α=−n\alpha=-n 时 ω=1/zn\omega = 1/z^n 为除原点外的复平面内解析的单值函数
  3. α=m/n\alpha=m/n 时，若 m,nm,n 互素且 n>0n>0，则 ω\omega 为 nn 值函数
  4. 其它：ω\omega 为除原点和负实轴外复平面上的无穷多值函数（每个分支）

在选定的局部解析分支上，

(zα)′=αzα−1(z^{\alpha})' = \alpha z^{\alpha-1}

三角函数 ​

sin⁡z=eiz−e−iz2i,cos⁡z=eiz+e−iz2\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

性质

  1. sin⁡z,cos⁡z\sin z, \cos z 为无界函数
  2. 实函数的基本性质

双曲函数 ​

sinh⁡z=ez−e−z2,cosh⁡z=ez+e−z2\sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}{2}

复变函数积分 ​

以路径积分来定义。

定理 1

设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x,y) + i v(x,y) 在逐段光滑的曲线 CC 上连续，则

∫Cf(z) dz=∫C(u dx−v dy)+i∫C(v dx+u dy)\int_C f(z)\,dz = \int_C(u\,dx-v\,dy)+i\int_C(v\,dx+u\,dy)

其参数形式（更常用）为：

∫Cf(z) dz=∫αβf[z(t)] z′(t) dt\int_C f(z)\,dz = \int_\alpha^\beta f[z(t)]\,z'(t)\,dt

若 $f$ 在单连通区域内解析，则积分与路径无关；更一般地，若 $f$ 在区域内有原函数，积分也与路径无关。

重要的积分

∮Cdz(z−z0)n={2πi,n=10,n≥2\oint_C\frac{dz}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 2\pi i, & n = 1 \\ 0, & n\ge 2 \end{cases}

其中 nn 为正整数，CC 是以 z0z_0 为中心、正向绕行一次的圆周。

柯西积分定理

若 f(z)f(z) 在单连通区域 DD 内解析，且 CC 是 DD 内的正向闭合曲线，则

∮Cf(z)dz=0\oint_C f(z) dz = 0

单连通区域： 区域内任一条闭合曲线所围得空间全部在区域内

复合闭路定理（小圆圈定理）

∮Cf(z)dz=∮C1f(z)dz+∮C2f(z)dz+...\oint_C f(z)dz = \oint_{C_1} f(z)dz + \oint_{C_2}f(z)dz + ...

结合柯西积分定理可知，C1C_1, C2C_2 等可取包含函数奇点的任意正向曲线。

奇点：使函数不解析的点

柯西积分公式

f(z)f(z) 在包含 CC 及其内部的区域内解析，且 CC 为正向简单闭曲线、zz 在 CC 内部，则

∮Cf(ξ)ξ−z dξ=2πi f(z)\oint_C\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi = 2\pi i\,f(z)

高阶导数公式

f(n)(z)=n!2πi∮Cf(ξ)(ξ−z)n+1dξ ⇓∮Cf(ξ)(ξ−z)n+1dξ=f(n)(z)2πin!f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi \\ \ \Downarrow \\ \oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi = f^{(n)}(z)\frac{2\pi i}{n!}