积分变换与数学物理方程

傅里叶变换

dirichlet 条件

1. $f_T(t)$ 连续或仅有有限个第一类间断点
2. $f_T(t)$ 仅有有限个极值点

傅里叶级数

若 $f_T(t)$ 为以 $T(0<T<+\infty)$ 为周期的实函数，且在一个周期中满足 $dirichlet$ 条件，则 $f_T(t)$ 可以展开为傅里叶级数，且在连续点 $t$ 处有：

$$f_T(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t)$$

其中

$$\left\{ \begin{aligned} \omega &= \frac{2\pi}{T} \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }f_T(t)\cos n\omega tdt \\ b_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }f_T(t)\sin n\omega tdt \end{aligned} \right.$$

写成复数形式则是:

$$f_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }f_T(\tau)e^{-in\omega \tau} d\tau\right]e^{in\omega t}$$

傅里叶积分定理

若 $f(t)$ 在任意有限区间内满足 $dirichlet$ 条件，且在实数域上绝对可积，则：

1. $t$ 为连续点时：

   $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau} d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega = f(t)$$

2. $t$ 为间断点时：

   $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau} d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega = \frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$$

傅里叶变换

记

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau$$

则

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

即

$$\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega),\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] = f(t)$$

狄拉克函数

狄拉克 delta 是分布，不是通常意义下的函数。它通过筛选性质定义：对足够光滑的测试函数 $\phi$，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)\phi(t)\,dt=\phi(t_0)$$

特别地，$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)dt=1$。

单位阶跃函数

$u(t-t_0)$

傅里叶变换的性质

线性性

$$\mathscr{F}\left[\alpha f(t)+\beta g(t)\right] = \alpha F(\omega) + \beta G(\omega) \\ \ \\ \mathscr{F}^{-1}\left[\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)\right] = \alpha f(t) + \beta g(t)$$

对称性

$$\mathscr{F}[F(\omega)] = 2\pi f(-t)$$

位移性

$$\mathscr{F}[f(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0}F(\omega) \\ \ \\ \mathscr{F^{-1} }[F(\omega-\omega_0)] = e^{i\omega_0 t}f(t)$$

相似性

$$\mathscr{F}[f(at)] = \frac{1}{|a| }F(\frac{\omega}{a}) \\ \ \\ \mathscr{F}^{-1}[F(a\omega)] = \frac{1}{|a| }f(\frac{t}{a})$$

相似+位移

$$\mathscr{F}[f(at-t_0)] = \frac{1}{|a| }e^{-i\frac{t_0}{a}\omega }F(\frac{\omega}{a}) \\$$

微分性

$$\mathscr{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega) \\ \ \\ F'(\omega) = -i\mathscr{F}[tf(t)] \\ \ \\ F^{(n)}(\omega) = (-i)^n\mathscr{F}[t^nf(t)]$$

积分性

若 $f$ 及其原函数满足相应的可积性条件，且 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt = 0$，则下式在适当的分布意义下成立：

$$\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\right] = \frac{1}{i\omega}F(\omega)$$

卷积定理

$$\begin{aligned} \mathscr{F}[f*g] = \mathscr{F}[f(t)]\cdot\mathscr{F}[g(t)] = F(\omega)\cdot G(\omega)\\ \mathscr{F}[f\cdot g] = \frac{1}{2\pi}\mathscr{F}[f(t)]*\mathscr{F}[g(t)] = \frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega) \end{aligned}$$

卷积定义：$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(s)g(t-s)\,ds$

常见的傅里叶变换对

$f(t)$	$F(\omega)$
$\delta(t)$	$1$
$u(t)$	$\pi\delta(\omega)-i\,\operatorname{PV}\frac{1}{\omega}$
$\sin\omega_0t$	$i\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$
$\cos\omega_0t$	$\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]$
$\begin{cases}E, & \vert t\vert \le \frac{\tau}{2} \\0, & \vert t\vert > \frac{\tau}{2}\end{cases}$	$\begin{cases}2E \displaystyle\frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega}&,\omega\not ={0} \\E\tau &,\omega=0\end{cases}$

拉普拉斯变换

存在性

若函数 $f(t)$ 满足：

1. 在 $t>0$ 的任意有限区间上分段连续。
2. 当 $t\rightarrow +\infty$ 时，$f(t)$ 为指数级函数。

则 $F(p) = \mathscr{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt$ 在半平面 $Re(p)>\sigma_c$ 上存在且解析。其中 $\sigma_c$ 为 $f(t)$ 增长指数。

拉普拉斯变换的性质

线性性

$$\mathscr{L}\left[\alpha f(t)+\beta g(t)\right] = \alpha F(p) + \beta G(p) \\ \ \\ \mathscr{L}^{-1}\left[\alpha F(p)+\beta G(p)\right] = \alpha f(t) + \beta g(t)$$

相似性

$$\mathscr{L}[f(at)] = \frac{1}{a}F(\frac{p}{a}),\quad a>0 \\ \ \\ \mathscr{L}^{-1}[F(ap)] = \frac{1}{a}f(\frac{t}{a})$$

延迟性

$$\mathscr{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)] = e^{-pt_0}F(p)$$

平移性

$$F(p-p_0) = \mathscr{L}[e^{p_0t}f(t)]$$

微分性

$$\mathscr{L}[f'(t)] = pF(p) - f(0) \\ \ \\ F'(p) = -\mathscr{L}[tf(t)] \\ \ \\ \mathscr{L}\left[f^{(n)}(t)\right] = p^nF(p) - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

积分性

$$\mathscr{L}\left[\int_0^{t}f(s)ds\right] = \frac{F(p)}{p} \\ \ \\ \int_p^{+\infty}F(s)ds = \mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]$$

其中 $p$ 位于收敛域内，并且要求 $f(t)/t$ 在 $t=0$ 附近具有使该拉普拉斯变换存在的行为。

周期性

若 $f(t+T) = f(t)$，则

$$\mathscr{L}[f(t)] = \frac{\int_0^Tf(\tau)e^{-p\tau}d\tau }{1-e^{-pT} }$$

初值终值

在满足相应收敛条件时，初值定理和终值定理分别为

$$f(0^+)=\lim_{p\to+\infty}pF(p),\qquad \lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{p\to0^+}pF(p)$$

终值定理还要求 $pF(p)$ 的全部极点位于左半平面，至多允许原点处有一个单极点。

卷积性

$$\mathscr{L}[(f*g)(t)]=\mathscr{L}[f(t)]\mathscr{L}[g(t)] = F(p)G(p)$$

卷积定义：$(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(s)g(t-s)\,ds$

拉普拉斯逆变换

复反演积分公式

$$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)e^{pt}dp,\quad(t>0)$$

其中 $\sigma$ 大于 $F(p)$ 的收敛横坐标，积分路径为 $Re(p)=\sigma$ 的任一条平行于虚轴的直线。

用留数求拉普拉斯逆变换

$$f(t) = \mathscr{L}^{-1}[F(p)] = \sum_{k=1}^{n} Res\left[F(p)e^{pt}, p_k\right]$$

其中该留数形式仅适用于可将反演轮廓闭合、弧线积分趋于零且没有需要处理的分支切割等情形；$p_k$ 为 $F(p)e^{pt}$ 在 $Re(p)<\sigma$ 内的极点。

拉普拉斯变换的应用

1. 解微分方程

   方程两边作拉普拉斯变换，把 $F(p)$ 解出来，再取逆变换。

2. 求广义积分

   $$\int_{0}^{+\infty}\frac{f(t)}{t}dt = \lim_{p\rightarrow 0}\int_{0}^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-pt}dt= \lim_{p\rightarrow 0}\int_{0}^{+\infty}F(s)ds$$
   $$\int_{0}^{+\infty}t^nf(t)dt = (-1)^n\lim_{p\rightarrow0}F^{(n)}(p)$$

常见函数的拉氏变换

$f(t)$	$F(p)$		$f(t)$	$F(p)$
$\sin\beta t$	$\displaystyle\frac{\beta}{p^2+\beta^2}$		$u(t)$	$\frac{1}{p}$
$\cos\beta t$	$\displaystyle\frac{p}{p^2+\beta^2}$		$e^{at}$	$\frac{1}{p-a}$
$\sinh\beta t$	$\displaystyle\frac{\beta}{p^2-\beta^2}$		$\delta(t-a)$	$e^{-ap}$
$\cosh\beta t$	$\displaystyle\frac{p}{p^2-\beta^2}$		$t^m$	$\frac{m!}{p^{m+1}}$

数学物理方程

分离变量法

一维波动方程

$$\begin{cases} &u_{tt}-a^2u_{xx} =0, & \quad&(方程)\\ &u|_{x=0} = 0,\quad &u|_{x=l}=0, &(边界条件)\\ &u|_{t=0}=\varphi(x), &u_t|_{t=0}=\psi(x) &(初始条件) \end{cases}$$

设

$$u(x,t) = X(x)T(t),$$

则

$$-a^2X''(x)T(t) + X(x)T''(t)=0$$

设

$$\lambda = -\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{T''(t)}{a^2T(t)}$$

则

$$\begin{aligned} &\begin{cases} X''(x)+\lambda X(x)&=0 \\ T''(t)+a^2\lambda T(t) &=0 \end{cases} \\ \Rightarrow &\begin{cases} X(x) = C_1\cos\sqrt{\lambda}x+C_2\sin\sqrt{\lambda}x \\ T(t) = A_n\cos\sqrt{\lambda}at+B_n\sin\sqrt{\lambda}at \end{cases} \end{aligned}$$

由边界条件可以求出 $\lambda$, 该题中 $\lambda=(n\pi/l)^2$ 为一系列值，这些值对应着一系列特解，这里是：

$$\begin{aligned} X_n(x) &= C_n\sin\frac{n\pi}{l}x \\ T_n(t) &= A_n\cos\frac{n\pi a}{l}t+B_n\sin\frac{n\pi a}{l}t \end{aligned}$$

叠加即可得到 $u(x,t)$, 此题为：

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \sum_{n=1}^{+\infty}X_n(x)T_n(t) \\ &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi a}{l}t+b_n\sin\frac{n\pi a}{l}t\right)\sin\frac{n\pi}{l}x \end{aligned}$$

利用初始条件，在 $t=0$ 时有：

$$\begin{aligned} \varphi(x) &= \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\sin\frac{n\pi x}{l}, \\ \psi(x) &= \sum_{n=1}^{+\infty}b_n\frac{n\pi a}{l}\sin\frac{n\pi x}{l} \end{aligned}$$

利用函数系 $\{\sin\frac{n\pi}{l} x\}$ 的正交性，得

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx, \\ \frac{n\pi a}{l}b_n &= \frac{2}{l}\int_0^l\psi(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx \end{aligned}$$

解出 $a_n$, $b_n$ 则方程解完。

热传导方程

方程如下：

$$\begin{cases} u_t -a^2u_{xx} = 0 \\ u|_{x=0} = 0,\quad u|_{x=l}=0, \\ u|_{t=0} = \varphi(x) \end{cases}$$

分离变量后：

$$\begin{aligned} &\begin{cases} X''(x)+\lambda X(x) =& 0 \\ T'(t) + \lambda a^2T(t) =& 0 \end{cases} \\ \Rightarrow& \begin{cases} X(x) = C_1\cos\sqrt{\lambda}x+C_2\sin\sqrt{\lambda}x \\ T(t) = De^{-a^2\lambda t} \end{cases} \end{aligned}$$

接下来求出 $\lambda$，再由初始条件确定系数 $C_n$ 即可。

二维拉普拉斯方程

方程如下：

$$\begin{cases} u_{xx}+u_{yy} = 0, \\ u|_{x=0} = 0, u|_{x=a} =0, \\ u|_{y=0} = 0, u|_{y=b}=\varphi (x),\quad \varphi(0)=\varphi(a)=0 \end{cases}$$

分离变量后。由 $X(0)=X(a)=0$ 可知只有 $\lambda=(n\pi/a)^2>0$ 的情形满足边界条件，因此

$$\begin{aligned} &\begin{cases} X''(x) + \lambda X(x) &= 0, \\ Y''(y) - \lambda Y(y) &= 0 \end{cases} \\ \Rightarrow & \begin{cases} X(x) = C_1\cos\sqrt{\lambda}x+C_2\sin\sqrt{\lambda}x \\ Y(y) = D_1e^{\sqrt{\lambda}y} + D_2e^{-\sqrt{\lambda} y} \end{cases} \end{aligned}$$

非齐次方程的解法

先找一个 $\omega(x,t)$ 使其满足非齐次方程，但是不满足初始条件。

达朗贝尔公式

用于无界弦的振动公式

$$\begin{cases} u_{tt} -a^2u_{xx} = f(x,t) \\ u|_{t=0} = \varphi(x), u_t|_{t=0} = \psi(x) \end{cases}$$

则

$$\begin{aligned} u(x,t) = &\quad\frac{1}{2}\left[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)\right] \\ &+ \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\tau)d\tau \\ &+ \frac{1}{2a}\int_0^t\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi, \tau)d\xi d\tau \end{aligned}$$